O que são equações diferenciais?

Uma equação diferencial relaciona uma ou mais funções com as suas derivadas. A equação de movimento de Newton pode ser considerada uma equação diferencial:

Equações diferenciais são utilizadas em qualquer forma em que é necessário relacionar quantidades físicas com suas taxas de variação (a derivada é a taxa de variação de uma função). Como essa aplicação é muito comum – é muito interessante saber como uma função vai variar ao invés de ver cada ponto da função – as aplicações das equações diferenciais são muito extensas, indo da engenharia à física, biologia e economia.

Uma função que satisfaz a equação diferencial dada é chamada de solução. Uma solução que contém tantas constantes arbitrárias quanto a ordem da equação diferencial é chamada uma solução geral e a solução livre de constantes arbitrárias é chamada uma solução particular.

Um claro caso de uso das equações diferenciais é procurar essas funções solução:

Para a qual a solução é:

Toda equação diferencial tem uma ordem, que é relacionada a sua derivada mais alta; uma equação diferencial de segunda ordem tem a segunda derivada, a de terceira ordem tem a terceira derivada e a de primeira ordem a primeira derivada. As equações diferenciais de primeira e segunda ordem são as mais comuns. As duas equações que mostrei até agora são de segunda ordem.

As equações diferenciais têm duas formas: equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais, sendo que a diferença entre elas está no uso de derivadas ordinárias ou derivadas parciais. Derivadas ordinárias são as que eu mostrei até agora. As derivadas parciais são diferentes das derivadas ordinárias em que apenas uma variável pode variar enquanto as outras permanecem constantes, isolando essa variação. Exemplo:

Derivando em função de x:

Derivando em função de y:

As equações diferenciais de primeira ordem têm um campo de soluções chamado campo de direções (a imagem do artigo) que é importante para avaliar o comportamento da equação diferencial no plano.

As equações diferenciais também podem ser resolvidas como um sistema de equações, usando autovalores e autovetores para chegar às suas soluções; é útil para resolver equações que estão relacionadas, assim como o sistema linear de equações normal, onde às vezes a resposta não é possível de outra forma. Exemplo:

Com isso termino minha curta apresentação às equações diferenciais. Aproveito para deixar uma música do Pink Floyd para reflexão:

Obrigado por ler até aqui. Deixe algumas palmas se você gostou do artigo.